KESİRLERİ KARŞILAŞTIRMA, SIRALAMA VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

KESİRLERDE KARŞILAŞTIRMA VE KESİRLERİN SIRALANMASI

• Kesirlerde sıralama işlemi yaparken kesirleri birbirleri ile karşılaştırırız. Karşılaştırma ve sıralama işlemini küçüktür ( < ), büyüktür ( > ) ve eşittir ( = ) sembolleriyle yaparız. [SPOT 1 ]

Payları eşit olan kesirlerde sıralama, paydaları eşit olan kesirleri sıralama, tam sayılı kesirlerde sıralama, bir doğal sayı ile kesrin karşılaştırılması, yarıma yakınlığa bakarak karşılaştırma ve bütüne yakınlığa bakarak karşılaştırmayı görelim.

1)Payları Eşit Olan Kesirleri Sıralama

• Payları eşit olan kesirleri sıralamak için kesirlerin paydalarına bakarız. Paydası küçük olan kesir daha büyüktür. [SPOT 2 ]

ÖRNEK:   ile    kesirlerini karşılaştıralım.

 

 kesri 6 eş parçaya ayrılmış bir bütünün 2 parçasını,   kesri ise 3 eş parçaya ayrılmış bir bütünün 2 parçasını temsil etmektedir.

 

Bu yüzden bu kesirlerin sıralanışı:

 

<   olur.

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK:   ,   ve   kesirlerini küçükten büyüğe sıralayalım.

Kesirlerin payları eşit olduğu için paydası büyük olan daha küçüktür. Bu yüzden bu kesirlerin sıralanışı:

 <   <  olur.

 

2) Paydaları Eşit Olan Kesirleri Sıralama

• Paydaları eşit olan kesirleri sıralamak için kesirlerin paylarına bakarız. Payı büyük olan kesir daha büyüktür. [SPOT 3 ]

 

 ÖRNEK:   ile   kesirlerini karşılaştıralım.

 

 kesri 6 eş parçaya ayrılmış bir bütünün 3 parçasını,   kesri ise 6 eş parçaya ayrılmış bir bütünün 5 parçasını temsil etmektedir.

 

Bu yüzden bu kesirlerin sıralanışı:

 

 <   olur.

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: ,   ve   kesirlerini küçükten büyüğe sıralayalım.

Kesirlerin paydaları eşit olduğu için payı küçük olan daha küçüktür. Bu yüzden bu kesirlerin sıralanışı:

 

 <  <   olur.

 

3)Payları Ve Paydaları Eşit Olmayan Kesirleri Sıralama

• Payları ve paydaları eşit olmayan kesirleri sıralamak için öncelikle kesirlerde genişletme yaparak paylarını veya paydalarını eşitleriz. Paylarını veya paydalarını eşitlemekten hangisi kolay oluyorsa onu yapabiliriz. Eşitledikten sonra yukarıda gördüğümüz şekilde karşılaştırır ve sıralarız. [SPOT 4 ]

ÖRNEK:   ile :  kesirlerini karşılaştıralım.

Bu kesirlerin paydalarını eşitlemek, paylarını eşitlemekten daha kolaydır. Bu yüzden bu kesirlerin paydalarını eşitleriz ve karşılaştırırız:

 

  =          (    kesrinde paydayı 3 ile genişleterek paydaları eşitleriz ve    >   olduğu

için     >     olur.

 

ÖRNEK:    ile     kesirlerini karşılaştıralım.

 

Bu kesirlerin paylarını eşitlemek, paydalarını eşitlemekten daha kolaydır. Bu yüzden bu kesirlerin paylarını eşitleriz ve karşılaştırırız:

 

  =                       (  kesrinde payda 4 ile genişletilir.)      ve

   =                        ( kesrinde payda 3 ile genişletilir.)

 

 >   olduğu için  >   olur.

 

4) Tam Sayılı Kesirleri Sıralama

Tam sayılı kesirleri karşılaştırırken iki yol izleyebiliriz.

1. YOL: Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme işlemi yaparız, daha sonra yukarıda öğrendiğimiz gibi paylarını veya paydalarını eşitleyerek karşılaştırırız.

2. YOL: Tam sayılı kesirlerde tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Eğer tam kısımları eşitse kesir kısımlarını karşılaştırırız. [SPOT 5 ]

 

• Bütüne Yakınlık

Kesirlerin bütüne yakınlıklarına göre karşılaştırma yapabiliriz.

 

ÖRNEK:   ve   kesirlerini karşılaştıralım.

 

 birden küçüktür ve bütüne (1’e) olan uzaklığı  ‘tir.

 

 birden küçüktür ve bütüne (1’e) olan uzaklığı  ‘dir.

 

  kesri  ‘ten daha küçük bir kesir olduğu için  kesrinin 1 tama olan mesafesi daha azdır. Yani daha yakındır.

 

Buradan  >   sıralamasını yapabiliriz.

 

ÖRNEK:  ve  kesirlerini karşılaştıralım.

 

   kesri 2 tamdan büyüktür ve 2 tamı   geçmiştir.

 

 kesri 2 tamdan büyüktür ve 2 tamı  geçmiştir.

 

18 kesri  15 ‘ten daha küçük bir kesir olduğu için  178

kesri daha küçüktür. Çünkü iki kesir de 2 tamı geçmiştir. Ancak  kesri tamı  geçmiştir, diğeri  geçmiştir.

 

 daha küçük olduğu için  daha az geçmiştir.

 

Buradan  <  sıralamasını yapabiliriz.

 

• Yarıma Yakınlık

Kesirlerin yarıma (12‘ye) yakınlıklarına göre karşılaştırma yapabiliriz.

ÖRNEK:  ve    kesirlerini karşılaştıralım.

 

 kesri yarımdan ( ) küçüktür ve yarıma olan uzaklığı  ‘dir.

 

 kesri yarımdan ( ) küçüktür ve yarıma olan uzak  ‘tür.

 

kesri   ‘den daha küçük bir kesir olduğu için   kesrinin yarıma olan mesafesi daha azdır. Yani daha yakındır.

 

Buradan  >  sıralamasını yapabiliriz.

 

ÖRNEK:  ve  kesirlerini karşılaştıralım.

 

 kesri yarımdan () büyüktür ve yarımı  geçmiştir.

 

 kesri yarımdan () büyüktür ve yarımı  geçmiştir.

 

 kesri  ‘den daha küçük bir kesir olduğu için  kesri daha küçüktür. Çünkü iki kesir de yarımı geçmiştir. Ancak  kesri yarımı daha az geçmiştir.

 

Buradan   <   sıralamasını yapabiliriz.

 

KESİRLERİ SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

1)Basit Kesirleri Sayı Doğrusunda Gösterme

• Basit kesirler sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındadır. 0 ile 1 arası kesrin paydası kadar eş parçaya bölünür ve payı kadar parça ilerlenerek kesrin yeri bulunur. [SPOT 6 ]

ÖRNEK:

  kesrini sayı doğrusunda gösterelim.

 

2)Bileşik Ve Tam Sayılı Kesirleri Sayı Doğrusunda Gösterme

• Bileşik kesirler önce tam sayılı kesre çevrilir. Kesir, tam kısmındaki sayı ve bir fazlası arasındadır. Bu aralık kesrin paydası kadar eş parçaya bölünür ve payı kadar parça ilerlenerek kesrin yeri bulunur. [SPOT 7 ]

ÖRNEK:

  kesrini sayı doğrusunda gösterelim.

Bu kesir önce tam sayılı kesre çevrilir   = ,   daha sonra aşağıdaki gibi sayı doğrusunda gösterilir.

 

 

 

KESİRLERLE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

 

KESİRLERDE TOPLAMA İŞLEMİ VE ÇIKARMA İŞLEMİ

1)Paydaları Eşit Olan Kesirlerde Toplama Ve Çıkarma İşlemi

• Paydaları eşit kesirlerde toplama/çıkartma işlemi yapılırken paylar toplanır/çıkartılır ve paya yazılır, ortak payda sonuca payda olarak yazılır.[SPOT 8 ]

 

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

Bir bütünün 5 eş parçasından 3 tanesi ile 1 tanesini toplarsak o bütünün 5 eş parçasından 4 tanesini elde ederiz.

Bu yüzden:

 olur.

 

 

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

 olur.

 

Sonucu 2 ile sadeleştirirsek 

elde edilir.

ÖRNEK: 

işleminin sonucunu bulalım.

 

Bir bütünün 4 eş parçasının 3 tanesinden 2 tanesi çıkartılırsa o bütünün 4 eş parçasından 1 tanesi kalmış olur.

Bu yüzden: olur.

 

 

ÖRNEK:

   işleminin sonucunu bulalım.

olur.

 

Toplama veya çıkartma işlemi yapılan kesirler tam sayılı kesir ise tam kısımlar kendi arasında, kesirler kendi arasında toplanıp çıkartılabilir veya bileşik kesre çevrilerek de işlem yapılabilir. [SPOT 9 ]

 

ÖRNEK: 

    işleminin sonucunu bulalım.

 

1. YOL: Tam kısımlar kendi arasında kesir kısımları kendi arasında toplanabilir.

 

 

 

2. YOL: Kesirler bileşik kesre çevrildikten sonra toplanabilir.:

ÖRNEK:   

işleminin sonucunu bulalım.

 

Tam kısımları kendi arasında, kesir kısımlarını kendi arasında toplarız. Ancak bu örnekte kesir kısımlarının toplamı bileşik kesir olduğu için onun içindeki 1 tamı da tam kısma ekleriz.

  olur.

 

 

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

 

1.YOL: Tam kısımlar kendi arasında kesir kısımları kendi arasında çıkartılabilir:

2. YOL: Kesirler bileşik kesre çevrildikten sonra çıkartma işlemi yapılabilir:

2)Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerde Toplama Ve Çıkarma İşlemi

Paydaları eşit olmayan kesirlerde toplama/çıkartma işlemi yapabilmek için kesirler aynı birim kesir cinsinden ifade edilmelidir (paydaları eşitlenmelidir). Bu yüzden genişletme veya sadeleştirme işlemi yapılarak kesirlerin paydaları eşitlenir. Daha sonra paylar toplanır/çıkartılır ve paya yazılır, ortak payda sonuca payda olarak yazılır. [SPOT 10 ]

ÖRNEK:

 

Genişletme işlemi yaparak paydaları eşitleriz, daha sonra toplama işlemi yaparız.

  elde edilir.

ÖRNEK:

  işleminin sonucunu bulalım.

 

Genişletme işlemi yaparak paydaları eşitleriz, daha sonra çıkarma işlemi yaparız.

  elde edilir.

 

ÖRNEK :

işleminin sonucunu bulalım.

 

Genişletme işlemi yaparak paydaları eşitleriz, daha sonra toplama ve çıkarma işlemini soldan sağa doğru yaparız.

 

elde edilir.

 

 

 

ÖRNEK:

  işleminin sonucunu bulalım.

 

Paydaları eşitlemek için genişletme işlemi yaparız Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirerek işleme devam edebiliriz.

 

 bulunur.

 

 

2)Bir Doğal Sayı İle Bir Kesri Toplama Ve Çıkarma İşlemi

Bir doğal sayı ve bir kesirle toplama/çıkarma işlemi yaparken doğal sayının paydasına 1 yazılır ve paydalar eşitlenir. [SPOT 11 ]

ÖRNEK:

   işleminin sonucunu bulalım.

 

 

bulunur.

 

ÖRNEK:

  işleminin sonucunu bulalım.

bulunur.

 

 

KESİRLERDE ÇARPMA İŞLEMİ

1)Bir Doğal Sayı İle Bir Kesri Çarpma (Bir Doğal Sayının Kesir Kadarını Bulma)

Bir doğal sayının bir kesir kadarını bulmak için doğal sayı ile kesir çarpılır. Bu çarpma işlemi yapılırken doğal sayının paydasına 1 yazılır. [SPOT 12 ]

 

ÖRNEK: 12’nin  ‘ini bulalım.

 

12’nin paydasına 1 yazılır, daha sonra paylardaki sayılar çarpılıp paya, paydadaki sayılar çarpılıp paydaya yazılır.

 olarak bulunur.

 

• Bir kesrin 0 ile çarpımı sıfırdır.
• Bir kesrin 1 ile çarpımı kendisidir.
• Bir doğal sayı 1’den küçük bir kesir ile çarpılırsa sonuç bu doğal sayıdan küçük olur.
• Bir doğal sayı 1’den büyük bir kesir ile çarpılırsa sonuç bu doğal sayıdan büyük olur. [SPOT 13 ]
•  

ÖRNEK: Yukarıdaki bilgilere ait aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

 

 

 

 

 

 

2)İki Kesri Çarpma (Bir Kesrin Kesir Kadarını Bulma)

Bir kesrin belirtilen kesir kadarı bulunurken bu iki kesir çarpılır. Kesirlerde çarpma işlemi yapılırken paylar çarpılıp çarpımın payına, paydalar çarpılıp çarpımın paydasına yazılır. [SPOT 14 ]

 

ÖRNEK:

  ‘in   ‘ini bulalım.

 

Paylardaki sayılar çarpılıp paya, paydadaki sayılar çarpılıp paydaya yazılır.

 

olarak bulunur.

 

Çarpma işleminde tam sayılı kesir varsa önce bileşik kesre çevrilir. [SPOT 15 ]

 

ÖRNEK:

  işleminin sonucunu bulalım.

  bulunur.

 

KESİRLERLE ÇARPMANIN MODELLEMESİ

Öncelikle bir doğal sayı ile kesrin çarpımının modellemesini yapalım.

ÖRNEK: 24’ün   ‘ü kaçtır? Bu çarpma işleminin sonucunu modelleme yaparak bulalım.

           

 

 

 

 

 

 

Şimdi iki kesrin çarpımının modellemesini yapalım:

Kesirlerde çarpma işleminde modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur. [SPOT 16 ]

 

ÖRNEK:

  işlemini modelleyelim.

 

Örnekte olduğu gibi mor renkler çakışan renkler pay, bütün dikdörtgenler de payda olur.

 

KESİRLERDE ÇARPMA İŞLEMİ PROBLEMLERİ

Problemlerde bir sayının veya kesrin belirtilen kesir kadarını bulmamız isteniyorsa çarpma işlemi yaparız.

ÖRNEK: Bir manav satın aldığı 35 kilogramlık patatesin  ‘sini aynı gün sattı.

Gün sonunda manavın elinde satılmayan kaç kilogram patates kalmıştır?

35’i    ile çarpacağız.

Çıkan sonuç (15kg) sattığı patateslerdir. Kalan patatesi bulmak için: 35-15=20 kg

 

ÖRNEK: 36 km’lik bir yolun önce    ‘ü, daha sonra kalan yolun   ‘ü asfaltlanıyor.

 Asfaltlanmayan ne kadar yol kalmıştır?

 

Önce ilk asfaltlanan kısmını bulmak için 36’yı    ile çarparız:

 

= 9 km asfaltlandı

 

Sonra ilk asfaltlama sonunda kalan kısmı buluruz: 36 – 9 = 27 km

 

Daha sonra bu kalan kısmın   ‘ü asfaltlanmış: 27’yi   ile çarparız:

 

= 18 km asfaltlandı

 

Toplam asfaltlanan = 9 + 18 = 27 km

 

Geriye kalan: 36 – 27 = 9 km

 

KESİRLERDE BÖLME İŞLEMİ

1)Ters Çevirip Çarp Algoritması (Yöntemi)

Ters çevirip çarpma yönteminde işlemdeki iki kesirden birinci kesir (yani bölünen) aynen yazılır, ikinci kesir (yani bölen) kesir ters çevrilerek (pay ve paydasının yeri değiştirilerek) ilk kesirle çarpılır. [SPOT 18 ]

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

 

  Birinci kesir aynen yazılır ,   ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

  

   olarak bulunur.

 

Bölme işleminde şunlara dikkat edilmelidir:

• Tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.
• İşlemde doğal sayı varsa paydasına 1 yazılır.
• İşlemin sonucunu bulduktan sonra varsa sadeleştirme yapılır. Ancak sadeleştirmeyi bölmeyi çarpmaya dönüştürdükten sonra (çarpmayı yapmadan önce) yapmak işlemi kolaylaştırır. [SPOT 19 ]

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

 

sonucu bulunur.

 

 

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu bulalım.

 

 sonucu bulunur.

 

ÖRNEK:  

    işleminin sonucunu bulalım.

 

sonucu bulunur.

 

2)Ortak Payda Algoritması (Yöntemi)

Ortak payda yönteminde bölünen iki kesrin paydası eşitlenir daha sonra paylarının oranı sonuç olarak yazılır. [SPOT 20 ]

ÖRNEK:

 işleminin sonucunu ortak payda yöntemiyle bulalım.

 

Paydalar eşitlenir ve paylar oranı sonuç olarak yazılır.

 

sonucu bulunur.

 

KESİRLERLE BÖLMENİN MODELLENMESİ

Bölme işlemi bir çokluğun içinde diğerinden kaç tane olduğunu bulma işlemidir. Modellemeyi bunu düşünerek yapacağız.

 

 

ÖRNEK: Aşağıda   işleminin modellemesi gösterilmiştir. 2 tamın içinde çeyrekten 8 tane vardır.

 

 

 

 

 

 

 

KESİRLERLE YAPILAN İŞLEMLERİN SONUCUNU TAHMİN ETME

 

KESİRLERLE YAPILAN İŞLEMLERİN SONUCUNU TAHMİN ETME

Kesirlerle yapılan işlemlerin sonuçlarını tahmin ederken, kesirlerin yaklaşık değerleri ile işlem yapılır. Bulunan sonuç yaklaşık bir sonuçtur. [SPOT 21 ]

Kesirlerin yaklaşık değerlerini bütüne (en yakın doğal sayıya) veya yarıma yakınlığına göre belirleriz. Burada kesirlerin sayı doğrusundaki konumları bize yardımcı olabilir. Bir kesrin payı ve paydası arasındaki fark çok fazla ise kesir 0’a, pay paydanın yarısına yakınsa  ‘e, pay ile payda bir birine yakın ise 1’e yuvalanır. Yuvarlanan yaklaşık değer “≅” sembolü kullanılarak gösterilir.

 

ÖRNEK: Aşağıdaki kesirlerin yaklaşık değerlerini tahmin edelim.

olur.

 

ÖRNEKLER: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu tahmin edelim.

1)

 

 

     sayısı 2’ye yakındır ve    sayısı 7’ye yakındır. Bu yüzden sonuç

yaklaşık olarak 9’dur.

2)

 

 

  sayısı 7,5’a yakındır ve    sayısı 3,5’a yakındır. Bu yüzden sonuç yaklaşık olarak

7,5 − 3,5 = 4’tür.